Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)
1)cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1
tìm giá trị nhỏ nhất của B=\(\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+a^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{c^3+a^3+1}}{ca}\)
2) cho x,y,z dương
tìm giá trị nhỏ nhất của P=\(x\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz}\right)+y\left(\frac{y}{2}+\frac{1}{xz}\right)+z\left(\frac{z}{2}+\frac{1}{xy}\right)\)
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)
Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm Min
\(P=2020\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Bài 4: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
3. Áp dụng cô si ta có
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)
Lại có:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)
Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=4\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\)
Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)
Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)
Áp dụng (*) và (**), ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn bổ sung cho mình dòng cuối là a = b = c = 1 nhé!
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.giá trị nhỏ nhất của A=\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\) là
\(A=\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ac+bc}\)
Đặt: \(ab=x;bc=y;ac=z\)=> xyz = 1; x,y,z>0
\(A=\frac{y}{x+z}+\frac{z}{y+x}+\frac{x}{z+y}=\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{yz+xz}+\frac{x^2}{zx+xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+xz+xz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z= 1 => a = b = c = 1
Vậy gtnn của A = 3/2 tại a = b = c = 1
( Bài toán khá hay về bunhia )
Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)
Làm bừa thôi nhé:)
\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{b^2.\frac{1}{b^2}}}\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
bổ sung thêm đk a+b=4
áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\cdot\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)
khi đó ta được \(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
ta để sy thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)do đó áp dụng bđt Cauchy vfa giả thiết ta được
\(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}\right]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}\right]\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[2+15\right]=\sqrt{17}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x>0;\frac{1}{b}=y>0;\frac{1}{c}=z>0\)
Từ giả thiết ta có: \(7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\le6\left(x^2+y^2+z^2\right)+2015\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2015\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\left(4a^2+b^2\right)+\left(2a^2+2b^2\right)}}\le\frac{1}{\sqrt{4a^2+b^2+4ab}}=\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2x+y\right)\)
Tương tự thì: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)\) và \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2z+x\right)\)
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\le\sqrt{\frac{2015}{3}}\)
Vậy max \(P=\sqrt{\frac{2015}{3}}\) , đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{3}{2015}}\)
1: Cho biểu thức \(A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
a: Tìm ĐKXĐ của A và rút gọn A
b: Tìm tất cả các giá trị của x để A<-1
2: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c\le3\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ca}\)
Bài 1 :
a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}\)
\(A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)
b) Để \(A< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< -1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< -\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
Vậy để \(A< -1\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
Cho các số dương thỏa mãn a+b+c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S=\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}\)+\(\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}\)+\(\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Đặt: \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(S=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{\frac{1}{z}.\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{y^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{z}}{\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{z^2}\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{xy+yz+zx+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{xy+yz+zx+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{z+y}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Nhầm dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\) chứ.
1) TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
2) Giải phương trình \(x^2+9x+21=\sqrt{2x+9}\)
3) Cho x ,y thay đổi thỏa mãn\(0< x< 1;0< y< 1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =\(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
4) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Bài 1:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Bài 2:
Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
Bài 3:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge2\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\)
Bài 4:
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c